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この論文，一度日記で取り上げようかと試みたんですが，まじめに解説してたら「温度とは何か？」の部分だけでとんでもない長さになったんで断念．温度って，とても身近な物理量のくせに物理的にきちんと説明しようとすると面倒なんですよね……
そんなわけで多少厳密さを省きながら，ポイントだけ列記．
1. 温度とは何か？温度って何？って話は実はとても面倒くさい話になります．（ですのである程度は 前野先生のページ [nifty.com]あたりにぶん投げちゃいます）いろいろな表現のしかたはあるのですが，「温度」というのは「エネルギーの分配のしかた」だと思ってください．ここで
反転分布のことを「負温度」と呼ぶメリットは何でしょうか。紛らわしいだけのように思えます。
「温度」は、エネルギー分布が定義できる（多数の粒子がある）系で、その分布が自然な分布（ボルツマン分布なりマックスウェル分布なり）に従っている場合に初めて定義できるものですよね。エネルギー分布が変な形をとるときには、ふつう、温度は定義できません、と言います。
反転分布も「自然な分布」ではないですから、温度を定義したり「負温度」と呼ぶことそのものに、すごく違和感があります。百歩譲って、ボルツマン分布の式の温度に負の値を入れたときの分布と正確に一致する場合（エネルギーが発散するので絶対に実現できない）にのみ「負温度」という言葉を使ってもいいかも知れませんが、たんなる反転分布で「負温度」と呼ぶのは、そのほかの（温度が定義できない）「自然な分布でない分布」がかわいそうです。
しかも、反転分布はおっしゃるように、無理矢理エネルギーをつぎ込んだ状態（直感的には温度が高そうな状態）ですから、直感的にも「負温度」と呼ぶのは違和感があります。
それにもかかわらず、反転分布のことを「負温度」と呼ぶからには、なにかメリットがあるのでしょうか。たとえば、温度が仮想的にマイナスだと考えることによっていろんなことが説明できるとか、いろんな公式がそのまま使えて便利だとか。
注：統計・熱力は（道具として使うものの）あまり専門ではないので，以下，変なことを言っている可能性があります．そのまま信じないようお願いします．
>紛らわしいだけのように思えます。
一理あります．実際に，似たような理由で負温度という言葉を使わない方もいらっしゃいます．ただ，
>エネルギー分布が変な形をとるときには、ふつう、温度は定義できません、と言います。
と言う点に関しては，（準）平衡状態にある負温度の系，と言うものが知られています．代表例がスピン系です．スピン系は準位が離散的（1/2スピンだと2準位しかない）なうえ，スピン間での相互作用以外の相互作用が弱く（特に核スピン系），さらにスピンの反転は光学的には禁制なので光を放出しての緩和もできません（実際には微妙に禁制が解けるので，ゆっくりとは緩和できる）．磁場中にスピンを置くと熱平衡に達しますが，そこで磁場だけを反転させると分布が完全に反転した系が得られます．ところがスピン系は孤立性が高く外部にエネルギーを放出して低エネルギーに緩和するのに非常に時間がかかるため，短い時間スパンでは事実上負温度のまま平衡に達します（もちろん，超長時間放置すればゆっくりと外界とエネルギーのやりとりをして正の温度に戻る）．
こういった系の統計力学というものがずいぶん昔（5-60年ぐらい前？）から理論・実験の両面でいろいろ研究されており，その結果こういった系でも熱力学の各種の法則は保たれていることなどが示されました．ただし負の温度は到達不能点である+∞よりも大きいと考える必要があり，低い方向の極限である-0の絶対零度と，高い方の極限である+0の絶対零度はともに到達不能点である，という事になります．
と言うわけで流れとしては，
・通常の温度では実現できない変な（準）平衡系が存在する．・既存の熱力学の枠組みをできるだけ維持したままそういう系を扱おうとすると，単純に温度を負に置くのが良い．・+∞の向こうに-∞があるのは変だが，そこには目を瞑る．どうせ∞の点は到達できない特異点なのだから，そこでの接続は気にしない．
とかそんな感じでしょうか．
>たんなる反転分布で「負温度」と呼ぶのは、>そのほかの（温度が定義できない）「自然な分布でない分布」がかわいそうです。
まあこれもまた一理あるのですが，準平衡である程度の時間安定して存在しているのなら，どんな分布であってもそこでの温度は定義できるはずです．∂S / ∂E = 1 / Tがありますので，こっちで出せるかと．ですから言ってしまえば，他の「変な分布」であっても，それが（準）平衡状態で成立するのならば，そこでの温度として負温度を用いることには何の問題もないと思います．
>反転分布のことを「負温度」と呼ぶからには、なにかメリットがあるのでしょうか。
そういう変な分布も世の中に実在していて，そういう系も含めて一つの同じ「統計．熱力学」と言うもので扱おうと考えたときに収まりが良くなる，とかそういう感じなのでは．確か理論の枠組みを変えずに，様々な統計的性質はそのまま扱えた……はず．ただしいくつかの（旧統計力学における）理論的帰結は，前提としている仮定（要は正の温度で必ず実現している条件）があったりするので，そういうのに関しては成立しなくなりますが．統計・熱力も扱う範囲を次第に拡張しながら来ており，負温度もそうですが，そもそも平衡状態でのみ定義されていた「温度」と言うものを非平衡定常系でも適用できるように拡張したり（まあ，我々の身の回りは全て非平衡状なので，昔の厳密な定義では宇宙のどこでも「温度」は定義できない，なんて困ったことになっちゃいますしね），将来的には完全に非平衡な系も扱おうとしていたりとしていますので，そういう拡張政策（より広い対象を，同じ原理で取り扱う）の一環と思っておけば良いんじゃないでしょうか．多分．
コメントの要旨：温度も分布関数も金科玉条ではない。
おそらく多くの理解の混乱（良い意味でのものも含めて）は、温度の定義の違いにあると思います。基本的に物理学では温度は巨視的にはエネルギーのエントロピーに対する偏微分で定義され、微視的には原子の（集団）振動で定義出来ます。これらは統計熱力学が親コメの仰る範囲で温度の定義に関して確立している現在、微視的な定義がよりはっきりとした定義になっていると思います（但し定義は唯一とは言っておりません）。他方、そのエントロピーや統計熱力学の成立前から実生活で温度は定義されており、水銀柱（古いか）あるいは水の凝固点・沸点あるいは体温で定義されています。実生活あるいはその少し延長の場合には物理学上の温度の定義と実生活の温度の定義が合うので普段は不思議に思いませんが、実際には両者の定義が合う必要性もありません。水銀温度計で8000度Cを計れるかと言えば計れないのでこの方法では定義不可能です。知りうる熱電対でも同じで、２色温度計では原理上測定できるかもしれませんが、その範囲でその「装置・器具」の精度は保証されていないように思えます（その前に輻射で燃えるような）。いずれにしても測定方法に依存します
さて、他方の分布関数の方ですが、フェルミ・ディラック分布やボース・アインシュタイン分布の定義にも温度は入って来ます。従ってその古典近似であるボルツマン分布も同様です。
それゆえ、私には./Jerの範囲では、温度と分布関数は鶏と卵の関係で、分布関数を決めたなら温度が０ケルビンを下回るのは不思議でなく、それはそのような温度と分布関数という道具を使っているからと言うように思えます。
具体的に今回の現象がどうであるかについては、親コメや他ツリーに詳しい説明があり、現象論的には「単にこういうことじゃないの？」と言うことに関しても「なるほど、勉強になった」という意見以外はありません。
最後に、ACなのでスコアを上げれませんが、親コメ群は非常にバランスの取れた分かりやすい説明ですね。勉強になりました。
負の温度ってのはコンピュータにおける負の数の補数表現みたいなもんなんですね。
+∞の向こうに-∞があるのは変
例えば数学中毒な人なら、何の違和感もなく「ああ、温度ってのは実数値(R-値)じゃなく、RP 1R-値なのか」で納得する気がします。相当不正確になりますが、平たく言えば「直線＝半径無限大の円、これはガチ」と言う感じで。
tanのグラフのπ/2付近
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私はプログラマです。1040 formに私の職業としてそう書いています -- Ken Thompson
雑記その1 (スコア:5, 参考になる)
この論文，一度日記で取り上げようかと試みたんですが，まじめに解説してたら「温度とは何か？」の部分だけでとんでもない長さになったんで断念．温度って，とても身近な物理量のくせに物理的にきちんと説明しようとすると面倒なんですよね……
そんなわけで多少厳密さを省きながら，ポイントだけ列記．
1. 温度とは何か？
温度って何？って話は実はとても面倒くさい話になります．
（ですのである程度は 前野先生のページ [nifty.com]あたりにぶん投げちゃいます）
いろいろな表現のしかたはあるのですが，「温度」というのは「エネルギーの分配のしかた」だと思ってください．ここで
Re:雑記その1 (スコア:1)
反転分布のことを「負温度」と呼ぶメリットは何でしょうか。紛らわしいだけのように思えます。
「温度」は、エネルギー分布が定義できる（多数の粒子がある）系で、その分布が自然な分布
（ボルツマン分布なりマックスウェル分布なり）に従っている場合に初めて定義できるものですよね。
エネルギー分布が変な形をとるときには、ふつう、温度は定義できません、と言います。
反転分布も「自然な分布」ではないですから、温度を定義したり「負温度」と呼ぶことそのものに、
すごく違和感があります。百歩譲って、ボルツマン分布の式の温度に負の値を入れたときの
分布と正確に一致する場合（エネルギーが発散するので絶対に実現できない）にのみ
「負温度」という言葉を使ってもいいかも知れませんが、たんなる反転分布で「負温度」と呼ぶのは、
そのほかの（温度が定義できない）「自然な分布でない分布」がかわいそうです。
しかも、反転分布はおっしゃるように、無理矢理エネルギーをつぎ込んだ状態（直感的には温度が
高そうな状態）ですから、直感的にも「負温度」と呼ぶのは違和感があります。
それにもかかわらず、反転分布のことを「負温度」と呼ぶからには、なにかメリットがあるのでしょうか。
たとえば、温度が仮想的にマイナスだと考えることによっていろんなことが説明できるとか、
いろんな公式がそのまま使えて便利だとか。
Re:雑記その1 (スコア:5, 参考になる)
注：統計・熱力は（道具として使うものの）あまり専門ではないので，以下，変なことを言っている可能性があります．そのまま信じないようお願いします．
>紛らわしいだけのように思えます。
一理あります．実際に，似たような理由で負温度という言葉を使わない方もいらっしゃいます．
ただ，
>エネルギー分布が変な形をとるときには、ふつう、温度は定義できません、と言います。
と言う点に関しては，（準）平衡状態にある負温度の系，と言うものが知られています．
代表例がスピン系です．スピン系は準位が離散的（1/2スピンだと2準位しかない）なうえ，スピン間での相互作用以外の相互作用が弱く（特に核スピン系），さらにスピンの反転は光学的には禁制なので光を放出しての緩和もできません（実際には微妙に禁制が解けるので，ゆっくりとは緩和できる）．
磁場中にスピンを置くと熱平衡に達しますが，そこで磁場だけを反転させると分布が完全に反転した系が得られます．ところがスピン系は孤立性が高く外部にエネルギーを放出して低エネルギーに緩和するのに非常に時間がかかるため，短い時間スパンでは事実上負温度のまま平衡に達します（もちろん，超長時間放置すればゆっくりと外界とエネルギーのやりとりをして正の温度に戻る）．
こういった系の統計力学というものがずいぶん昔（5-60年ぐらい前？）から理論・実験の両面でいろいろ研究されており，その結果こういった系でも熱力学の各種の法則は保たれていることなどが示されました．
ただし負の温度は到達不能点である+∞よりも大きいと考える必要があり，低い方向の極限である-0の絶対零度と，高い方の極限である+0の絶対零度はともに到達不能点である，という事になります．
と言うわけで流れとしては，
・通常の温度では実現できない変な（準）平衡系が存在する．
・既存の熱力学の枠組みをできるだけ維持したままそういう系を扱おうとすると，単純に温度を負に置くのが良い．
・+∞の向こうに-∞があるのは変だが，そこには目を瞑る．どうせ∞の点は到達できない特異点なのだから，そこでの接続は気にしない．
とかそんな感じでしょうか．
>たんなる反転分布で「負温度」と呼ぶのは、
>そのほかの（温度が定義できない）「自然な分布でない分布」がかわいそうです。
まあこれもまた一理あるのですが，準平衡である程度の時間安定して存在しているのなら，どんな分布であってもそこでの温度は定義できるはずです．∂S / ∂E = 1 / Tがありますので，こっちで出せるかと．
ですから言ってしまえば，他の「変な分布」であっても，それが（準）平衡状態で成立するのならば，そこでの温度として負温度を用いることには何の問題もないと思います．
>反転分布のことを「負温度」と呼ぶからには、なにかメリットがあるのでしょうか。
そういう変な分布も世の中に実在していて，そういう系も含めて一つの同じ「統計．熱力学」と言うもので扱おうと考えたときに収まりが良くなる，とかそういう感じなのでは．
確か理論の枠組みを変えずに，様々な統計的性質はそのまま扱えた……はず．
ただしいくつかの（旧統計力学における）理論的帰結は，前提としている仮定（要は正の温度で必ず実現している条件）があったりするので，そういうのに関しては成立しなくなりますが．
統計・熱力も扱う範囲を次第に拡張しながら来ており，負温度もそうですが，そもそも平衡状態でのみ定義されていた「温度」と言うものを非平衡定常系でも適用できるように拡張したり（まあ，我々の身の回りは全て非平衡状なので，昔の厳密な定義では宇宙のどこでも「温度」は定義できない，なんて困ったことになっちゃいますしね），将来的には完全に非平衡な系も扱おうとしていたりとしていますので，そういう拡張政策（より広い対象を，同じ原理で取り扱う）の一環と思っておけば良いんじゃないでしょうか．多分．
Re:雑記その1 (スコア:1)
コメントの要旨：温度も分布関数も金科玉条ではない。
おそらく多くの理解の混乱（良い意味でのものも含めて）は、温度の定義の違いにあると思います。基本的に物理学では温度は巨視的にはエネルギーのエントロピーに対する偏微分で定義され、微視的には原子の（集団）振動で定義出来ます。これらは統計熱力学が親コメの仰る範囲で温度の定義に関して確立している現在、微視的な定義がよりはっきりとした定義になっていると思います（但し定義は唯一とは言っておりません）。他方、そのエントロピーや統計熱力学の成立前から実生活で温度は定義されており、水銀柱（古いか）あるいは水の凝固点・沸点あるいは体温で定義されています。実生活あるいはその少し延長の場合には物理学上の温度の定義と実生活の温度の定義が合うので普段は不思議に思いませんが、実際には両者の定義が合う必要性もありません。水銀温度計で8000度Cを計れるかと言えば計れないのでこの方法では定義不可能です。知りうる熱電対でも同じで、２色温度計では原理上測定できるかもしれませんが、その範囲でその「装置・器具」の精度は保証されていないように思えます（その前に輻射で燃えるような）。いずれにしても測定方法に依存します
さて、他方の分布関数の方ですが、フェルミ・ディラック分布やボース・アインシュタイン分布の定義にも温度は入って来ます。従ってその古典近似であるボルツマン分布も同様です。
それゆえ、私には./Jerの範囲では、温度と分布関数は鶏と卵の関係で、分布関数を決めたなら温度が０ケルビンを下回るのは不思議でなく、それはそのような温度と分布関数という道具を使っているからと言うように思えます。
具体的に今回の現象がどうであるかについては、親コメや他ツリーに詳しい説明があり、現象論的には「単にこういうことじゃないの？」と言うことに関しても「なるほど、勉強になった」という意見以外はありません。
最後に、ACなのでスコアを上げれませんが、親コメ群は非常にバランスの取れた分かりやすい説明ですね。勉強になりました。
Re: (スコア:0)
負の温度ってのはコンピュータにおける負の数の補数表現みたいなもんなんですね。
Re: (スコア:0)
例えば数学中毒な人なら、何の違和感もなく「ああ、温度ってのは実数値(R-値)じゃなく、RP 1R-値なのか」で納得する気がします。相当不正確になりますが、平たく言えば「直線＝半径無限大の円、これはガチ」と言う感じで。
Re: (スコア:0)
tanのグラフのπ/2付近