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> また、「すべての自然数の和は-1/12」という例のように、発散する数に対する演算を有限の数どうしの演算と同様に扱ってはいけないという話も出ています。
これまた、誤解を与える文章ですね。
1) 「すべての自然数の和は-1/12」は、「すべての自然数の和は-1/12とみなすこともできる。」とでもすべきでしょう。2) 発散する数に対する演算を有限の数どうしの演算と同様に扱ってはいけないという話も出ています。これ自体は数学的に正しいのですが、前段の 「すべての自然数の和は-1/12」とは異なる話なので、元の記事のように、1つの文章で書くのは、誤解を与えます。
さて、1) について、まず、前提として、どうひっくり返っても「すべての自然数の和」は正の無限大に発散します(単純にいえば、無限大になる)。
ただ、以下の理由によって、-1/12 とみなすことが可能となります。(詳細は、複
なぜ、「すべての自然数の和は-1/12とみなすこともできる」のですか?無限大ではないの?なんでそんな有限な小さな数になるの?本当に理解してるなら分かるように説明して
別ACです。
ポイントは「解析接続」です。これは複素平面の一部の領域で定義されている関数を、その境界から拡張して複素平面全体に拡張するという操作です。面白いのは、拡張部分は好き勝手な値を取れるわけではなく、自動的に決まるただ一つの関数になるということです。例えば、実軸上のみで定義されている sin(x) という関数を複素平面全体に解析接続すると、ただ1つの「解析関数」が得られます。なぜ一つしか得られないかというと、「解析関数」の持つ「複素数として微分できなければならない」という制限が厳しいため、好き勝手な値が取れないためです。なお、解析接続は実軸上のすべての値が分かっていなくても実行でき、無限の点における値が分かっていれば実行できることが分かっています。
さて、ここからは想像を含めた私の解釈です。ゼータ関数は Wikipedia の定義を見ればわかるように、2,3,4... での値は簡単に求められます。ですので、これらの点の値を元に解析接続が出来るはずです。それにより複素平面全体の値が得られると、-1での値も求まり、それが -1/12 になるということです。ところが、元々のゼータ関数の定義では、-1の値は 1+2+3... となります。この値は解析接続では使っていないのですが、解析接続の一意性からするとそれらは一致しているべきです。あれ?となるわけです。
ただ、この不思議な結果は何も意味がないかというと、そうでもないようで、「物理的」にも意味があるのではと、最近は言われています。カシミール効果とかくりこみ理論とか、詳しいことは知りませんが。https://www.google.co.jp/search?client=ubuntu&channel=fs&q=1+%... [google.co.jp]
解析接続をする元の関数で値が未定の点を、あらかじめ勝手に定めてやるとどうなるのかちらっと気になりました…。
つまり、ゼータ関数を少し改悪した偽ゼータ関数を、
偽ゼータ(-1) = 42偽ゼータ(x) = ζ(x) (xが-1以外のとき)
などと定義すると、「偽ゼータの解析接続(-1)」の値が矛盾するのでは? と一瞬気になりましたが、そうか、「偽ゼータ(-1)=42」の値に引っ張られるので「ゼータ関数の解析接続」と「偽ゼータ関数の解析接続」はそもそも同じではないわけですね。
元の関数で値が定まっていない部分だからこそ、変な値として定まっても矛盾は生じないわけですね。
解析性は非常に強い性質なので、ある小さな領域で一致する二つの解析函数は全領域で一致します(一致の定理)。むしろ、僅かな情報しか与えられていない函数が解析函数であると仮定すると広い領域での値があっさり一意的に決まるというのが解析接続(定義域の解析的延長)を考える原動力なので、あなたの考えはだいぶ的を外しているようです。あなたのいう偽ゼータは x=-1 で解析的でないが、それは除くことのできる特異性であり、x=-1で解析接続したものはゼータになる。
なるほど、「解析的でない」と表現するのですね。発散すると言っても、正の無限大に発散する場合と、負の無限大に発散する場合などいろいろあるので、x=-1のところだけ、別の発散のしかたをする関数に置き換えてやればどうなるんだろう?置き換えて出来た様々な関数は別物なのに、同じ結果に? というのが気になった出発点でした。
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アレゲは一日にしてならず -- アレゲ研究家
ちょっと補足として (スコア:5, 参考になる)
> また、「すべての自然数の和は-1/12」という例のように、発散する数に対する演算を有限の数どうしの演算と同様に扱ってはいけないという話も出ています。
これまた、誤解を与える文章ですね。
1) 「すべての自然数の和は-1/12」は、「すべての自然数の和は-1/12とみなすこともできる。」とでもすべきでしょう。
2) 発散する数に対する演算を有限の数どうしの演算と同様に扱ってはいけないという話も出ています。
これ自体は数学的に正しいのですが、前段の 「すべての自然数の和は-1/12」とは異なる話なので、
元の記事のように、1つの文章で書くのは、誤解を与えます。
さて、1) について、
まず、前提として、どうひっくり返っても「すべての自然数の和」は正の無限大に発散します(単純にいえば、無限大になる)。
ただ、以下の理由によって、-1/12 とみなすことが可能となります。(詳細は、複
Re: (スコア:0, オフトピック)
なぜ、「すべての自然数の和は-1/12とみなすこともできる」のですか?
無限大ではないの?
なんでそんな有限な小さな数になるの?
本当に理解してるなら分かるように説明して
Re:ちょっと補足として (スコア:3, 興味深い)
別ACです。
ポイントは「解析接続」です。これは複素平面の一部の領域で定義されている関数を、その境界から拡張して複素平面全体に拡張するという操作です。面白いのは、拡張部分は好き勝手な値を取れるわけではなく、自動的に決まるただ一つの関数になるということです。例えば、実軸上のみで定義されている sin(x) という関数を複素平面全体に解析接続すると、ただ1つの「解析関数」が得られます。なぜ一つしか得られないかというと、「解析関数」の持つ「複素数として微分できなければならない」という制限が厳しいため、好き勝手な値が取れないためです。なお、解析接続は実軸上のすべての値が分かっていなくても実行でき、無限の点における値が分かっていれば実行できることが分かっています。
さて、ここからは想像を含めた私の解釈です。ゼータ関数は Wikipedia の定義を見ればわかるように、2,3,4... での値は簡単に求められます。ですので、これらの点の値を元に解析接続が出来るはずです。それにより複素平面全体の値が得られると、-1での値も求まり、それが -1/12 になるということです。ところが、元々のゼータ関数の定義では、-1の値は 1+2+3... となります。この値は解析接続では使っていないのですが、解析接続の一意性からするとそれらは一致しているべきです。あれ?となるわけです。
ただ、この不思議な結果は何も意味がないかというと、そうでもないようで、「物理的」にも意味があるのではと、最近は言われています。カシミール効果とかくりこみ理論とか、詳しいことは知りませんが。
https://www.google.co.jp/search?client=ubuntu&channel=fs&q=1+%... [google.co.jp]
Re: (スコア:0)
解析接続をする元の関数で値が未定の点を、あらかじめ勝手に定めてやるとどうなるのかちらっと気になりました…。
つまり、ゼータ関数を少し改悪した偽ゼータ関数を、
偽ゼータ(-1) = 42
偽ゼータ(x) = ζ(x) (xが-1以外のとき)
などと定義すると、「偽ゼータの解析接続(-1)」の値が矛盾するのでは? と一瞬気になりましたが、
そうか、「偽ゼータ(-1)=42」の値に引っ張られるので「ゼータ関数の解析接続」と「偽ゼータ関数の解析接続」はそもそも同じではないわけですね。
元の関数で値が定まっていない部分だからこそ、変な値として定まっても矛盾は生じないわけですね。
Re: (スコア:0)
解析性は非常に強い性質なので、ある小さな領域で一致する二つの解析函数は全領域で一致します(一致の定理)。むしろ、僅かな情報しか与えられていない函数が解析函数であると仮定すると広い領域での値があっさり一意的に決まるというのが解析接続(定義域の解析的延長)を考える原動力なので、あなたの考えはだいぶ的を外しているようです。あなたのいう偽ゼータは x=-1 で解析的でないが、それは除くことのできる特異性であり、x=-1で解析接続したものはゼータになる。
Re: (スコア:0)
なるほど、「解析的でない」と表現するのですね。
発散すると言っても、正の無限大に発散する場合と、負の無限大に発散する場合などいろいろあるので、
x=-1のところだけ、別の発散のしかたをする関数に置き換えてやればどうなるんだろう?
置き換えて出来た様々な関数は別物なのに、同じ結果に? というのが気になった出発点でした。