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# 2進数ネタは本家で書かれてしまったので、まじめに書く。
素数は、大きな数の領域になるほどに分布が疎らになっていきます。ということで、ある桁数の数についてみれば、1xxxxx の素数よりは、9xxxxx の素数のほうが少ないだろう、という見込みはなんとなくありそうに思えます。で、問題は
最高桁が「1」である数値は全体の約30%、「2」であるものは約18%、「3」であるもの約12%･･･「9」であるものは約5%という割合になっている
という法則に従うかどうか。
大まかな素数の分布を知るための式（素数定理）の簡単なものに、π(n) ≒ n/ln(n) があります。ここでいう"π(x)"は、円周率ではなく素数計数関数です。（x以下の個数の数を表す。ex. π(10) = 4 {2,3,5,7} ≒ 10/ln(10) [google.co.jp]）
この式を使って、小さな（google電卓で届くような）数の領域について、素数の数をみてみると…
9桁の数について調べているのですから、10 000 000台は除外する必要があるに決まっています。問題はそこではありません。(n桁以下の数の分布)=(n桁の数の分布)+(n-1桁の数の分布)+...+(1桁の数の分布)ですから(2例しか計算してませんけど)どの数で始まる素数の出現率もだいたい同じなんじゃね? と言いたいのでしょう。この論法の最大の問題は、1で始まる数にとってもっとも不利な、出現率が均等になるような上限(99,999,9999,...)ばかりを(おそらく自覚なしに)恣意的に選んでいることです。1で始まる数にとってもっとも有利な上限(19,199,1999,...)ばかりを選べば「1で始まる素数の出現率はだいたい50%」という結論になります。1で始まる数の出現率は、もっとも不利な場合ですら他の数字で始まる数と均等であるることに注意してください。それ以外のいかなる上限を選んでも、1で始まる数の出現率が他の数で始まる数より低くなることはありません。もっとも有利な場合には50%を超えます。それらをならした場合に1で始まる数の出現率がだいたい30%になる、というのがベンフォードの法則の直感的な説明です。
それ以外のいかなる上限を選んでも、1で始まる数の出現率が他の数で始まる数より低くなることはありません。
素数は無限にあるので、この証明ではそもそも「上限」を設定せず、素数全体の集合を相手に「無作為に数をとってくる」ような操作をしているのではないのか、とまあ、そのあたりが疑問だったわけです。
論文の後半(Appendix)にそのあたりのことが書かれているのですが、前提知識が足りてなくて理解がいま一つ。
はい、ですから(証明ではなく)直感的説明だと申し上げました。#1564457 [srad.jp]のように、恣意的に範囲を設定すればいくらでも不適切な結論を導けるということを示すのが目的です。
> 「上限」を設定せず、素数全体の集合を相手に無限の数の集合に対していきなり性質を述べたりするのが困難な場合、数学的帰納法や極限操作によって結論を導いたりするのはごく普通のやり方です。
もう少し単純化した例を挙げてみます。{1, -1, 1, -1,
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吾輩はリファレンスである。名前はまだ無い -- perlの中の人
【新ジャンル】しがないリーマンのオレが、ヘタレな数の領域で【計算してみた】 (スコア:4, 参考になる)
# 2進数ネタは本家で書かれてしまったので、まじめに書く。
素数は、大きな数の領域になるほどに分布が疎らになっていきます。ということで、ある桁数の数についてみれば、1xxxxx の素数よりは、9xxxxx の素数のほうが少ないだろう、という見込みはなんとなくありそうに思えます。で、問題は
という法則に従うかどうか。
大まかな素数の分布を知るための式（素数定理）の簡単なものに、π(n) ≒ n/ln(n) があります。ここでいう"π(x)"は、円周率ではなく素数計数関数です。（x以下の個数の数を表す。ex. π(10) = 4 {2,3,5,7} ≒ 10/ln(10) [google.co.jp]）
この式を使って、小さな（google電卓で届くような）数の領域について、素数の数をみてみると…
Re:【新ジャンル】しがないリーマンのオレが、ヘタレな数の領域で【計算してみた】 (スコア:0)
これだと10 000 000台の数は減算されちゃってるような。
Re:【新ジャンル】しがないリーマンのオレが、ヘタレな数の領域で【計算してみた】 (スコア:3, 参考になる)
9桁の数について調べているのですから、10 000 000台は除外する必要があるに決まっています。問題はそこではありません。
(n桁以下の数の分布)=(n桁の数の分布)+(n-1桁の数の分布)+...+(1桁の数の分布)ですから(2例しか計算してませんけど)どの数で始まる素数の出現率もだいたい同じなんじゃね? と言いたいのでしょう。
この論法の最大の問題は、1で始まる数にとってもっとも不利な、出現率が均等になるような上限(99,999,9999,...)ばかりを(おそらく自覚なしに)恣意的に選んでいることです。1で始まる数にとってもっとも有利な上限(19,199,1999,...)ばかりを選べば「1で始まる素数の出現率はだいたい50%」という結論になります。
1で始まる数の出現率は、もっとも不利な場合ですら他の数字で始まる数と均等であるることに注意してください。それ以外のいかなる上限を選んでも、1で始まる数の出現率が他の数で始まる数より低くなることはありません。もっとも有利な場合には50%を超えます。それらをならした場合に1で始まる数の出現率がだいたい30%になる、というのがベンフォードの法則の直感的な説明です。
Re:【新ジャンル】しがないリーマンのオレが、ヘタレな数の領域で【計算してみた】 (スコア:2)
素数は無限にあるので、この証明ではそもそも「上限」を設定せず、素数全体の集合を相手に「無作為に数をとってくる」ような操作をしているのではないのか、とまあ、そのあたりが疑問だったわけです。
論文の後半(Appendix)にそのあたりのことが書かれているのですが、前提知識が足りてなくて理解がいま一つ。
Re: (スコア:0)
はい、ですから(証明ではなく)直感的説明だと申し上げました。#1564457 [srad.jp]のように、恣意的に範囲を設定すればいくらでも不適切な結論を導けるということを示すのが目的です。
> 「上限」を設定せず、素数全体の集合を相手に
無限の数の集合に対していきなり性質を述べたりするのが困難な場合、数学的帰納法や極限操作によって結論を導いたりするのはごく普通のやり方です。
もう少し単純化した例を挙げてみます。{1, -1, 1, -1,