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1.素数は、2、3、5....と無限にある2.奇数×奇数は必ず奇数になる3.奇数×2は必ず偶数になる
結果、すべての素数を掛け算すると偶数になる。でダメなの?
無限大の掛け算の話を出す人がいるけど、無限大の掛け算がどうなるかと素数が無限にあることは違う意味だよね?
昔どこかで聞いた例。
1. 有理数に有理数を足すと、必ず有理数になる。2. 従って、有理数を無限に加えたものも有理数になる。
と書けそうな気がするけど、実はこれは成り立たない。
反例:有理数列として、√2を各桁で分解した無限数列、1、0.4、0.01、0.004、0.0002……を考える。各要素は明らかに有理数である。しかしこれら有理数の無限和は√2となり、無理数を与える。従って、有理数をどれだけ(有限個)足しても有理数であるが、無限個足す場合には無理数になってしまうこともある。
とかそんなのがあった。反例としては別に√2でなくても、数列の収束の結果にπが入ってくるようなものでもOK。
ライプニッツの式π/4 = Σ(-1)n/(2n+1)
とか、exp(x)のマクローリン展開exp(x)=1+Σxn/n!e=1+Σ1/n! (x=1の場合)
とかの方が有名かな。
なんか納得できないな。数列として考えると、(極限値は無理数だけど)有理数集合から出ていかない。例えば1/N (Nは自然数)の極限値は0だろうけど、あくまで(0,1]で0には到達しないみたいな。
自分でも無限とは何かわかっていませんが、多分、あなたの考えている数列は、有限の数列なのだと思います。N を1つづ増やしていくと、いつか 1/N = 0 になるというわけではなくて、lim/N → ∞ というのは N を増やすのとは異なる演算なのではないでしょうか。例えて言うなら、 数列が → に進んでいくものだとすると、極限をとるというのは、↓に進むことみたいな?
# わけもわからず適当なことを言っているのでAC。
だよね。これは√2の完全な10進展開が現実に可能と考えているから納得がいかない。本当は、√2に限りなく近づく数列の同値類を√2と定義しているわけで、有理数の無限回の和が無理数になるわけではないよね。無限回の和とはあくまで極限という演算であって、本当の無限回があるわけではない。そうでないと、最後の方は有理数ではなく無限小という数を足してるはず。
# 無限小を実際に扱える公理系もあるそうですけど。
>奇数×2は必ず偶数になる
これは良いけど、2×奇数×奇数×……という操作を無限回繰り返した結果がどうなるかは何とも言えない。収束しないものを無限回繰り返した結果とか、数値自体が無限大にすっ飛んで行っちゃうときとかは、有限の時に成り立っていたものが同じように成り立つという保証はない。
無限の乗算も素数も高々可算箇。 解析接続を検索したく無いのなら、無限は数じゃ無くて状態の事を云ってると憶えなさい。 解析接続を学んだら、理不尽な発散級数の取扱いも、其れ成りの妥当性と有効性を持ってるから使われて居る鳥飼出来るからね。 尤もEulerは理論確立以前から好き放題に発散級数を弄び,顰蹙を買ったけど、現在の知見でも間違って無いのは天才巨匠の故。 数学王と嫌がられた御仁だもんね。 =∞と式に有ったら、右側は単一の数値じゃ無くて状態と憶えなさい。
上から目線で知識の足りない者に知識を求めよと言うのであれば、より平易な言葉遣いと適度に漢字をひらがなにひらくこと、
そして てきど に かいぎょう や くうぎょう を
はさむ こと を おぼえて は
いかが かな??
小さいほうの素数から順番にかけていくイメージで考えるとそもそも最初に2が含まれてるんだから偶数で当たり前やんってなるけど別に小さいほうからかけていくなんて決まっているわけでもなく、無限に手順は存在するはず。そうすると2が含まれるんだか含まれないんだかそもそもどの素数が含まれているんだかっていうのは全て等しく無限大のかなたにすっとんでいくような気がしてこないだろうか。
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「毎々お世話になっております。仕様書を頂きたく。」「拝承」 -- ある会社の日常
どういうこと? (スコア:0)
1.素数は、2、3、5....と無限にある
2.奇数×奇数は必ず奇数になる
3.奇数×2は必ず偶数になる
結果、すべての素数を掛け算すると偶数になる。でダメなの?
無限大の掛け算の話を出す人がいるけど、無限大の掛け算がどうなるかと
素数が無限にあることは違う意味だよね?
有名な例 (スコア:5, 参考になる)
昔どこかで聞いた例。
1. 有理数に有理数を足すと、必ず有理数になる。
2. 従って、有理数を無限に加えたものも有理数になる。
と書けそうな気がするけど、実はこれは成り立たない。
反例:
有理数列として、√2を各桁で分解した無限数列、1、0.4、0.01、0.004、0.0002……を考える。
各要素は明らかに有理数である。しかしこれら有理数の無限和は√2となり、無理数を与える。
従って、有理数をどれだけ(有限個)足しても有理数であるが、無限個足す場合には無理数になってしまうこともある。
とかそんなのがあった。反例としては別に√2でなくても、数列の収束の結果にπが入ってくるようなものでもOK。
Re:有名な例 (スコア:1)
ライプニッツの式
π/4 = Σ(-1)n/(2n+1)
とか、exp(x)のマクローリン展開
exp(x)=1+Σxn/n!
e=1+Σ1/n! (x=1の場合)
とかの方が有名かな。
Re: (スコア:0)
なんか納得できないな。
数列として考えると、(極限値は無理数だけど)有理数集合から出ていかない。
例えば1/N (Nは自然数)の極限値は0だろうけど、あくまで(0,1]で0には到達しないみたいな。
Re: (スコア:0)
自分でも無限とは何かわかっていませんが、多分、あなたの考えている数列は、有限の数列なのだと思います。
N を1つづ増やしていくと、いつか 1/N = 0 になるというわけではなくて、lim/N → ∞ というのは N を増やすのとは異なる演算なのではないでしょうか。
例えて言うなら、 数列が → に進んでいくものだとすると、極限をとるというのは、↓に進むことみたいな?
# わけもわからず適当なことを言っているのでAC。
Re: (スコア:0)
だよね。これは√2の完全な10進展開が現実に可能と考えているから納得がいかない。
本当は、√2に限りなく近づく数列の同値類を√2と定義しているわけで、
有理数の無限回の和が無理数になるわけではないよね。
無限回の和とはあくまで極限という演算であって、本当の無限回があるわけではない。
そうでないと、最後の方は有理数ではなく無限小という数を足してるはず。
# 無限小を実際に扱える公理系もあるそうですけど。
Re:どういうこと? (スコア:1)
>奇数×2は必ず偶数になる
これは良いけど、2×奇数×奇数×……という操作を無限回繰り返した結果がどうなるかは何とも言えない。
収束しないものを無限回繰り返した結果とか、数値自体が無限大にすっ飛んで行っちゃうときとかは、有限の時に成り立っていたものが同じように成り立つという保証はない。
Re:何う云う事、斯う云う事。 (スコア:0)
無限の乗算も素数も高々可算箇。 解析接続を検索したく無いのなら、無限は数じゃ無くて状態の事を云ってると憶えなさい。 解析接続を学んだら、理不尽な発散級数の取扱いも、其れ成りの妥当性と有効性を持ってるから使われて居る鳥飼出来るからね。 尤もEulerは理論確立以前から好き放題に発散級数を弄び,顰蹙を買ったけど、現在の知見でも間違って無いのは天才巨匠の故。 数学王と嫌がられた御仁だもんね。
=∞と式に有ったら、右側は単一の数値じゃ無くて状態と憶えなさい。
Re: (スコア:0)
上から目線で知識の足りない者に知識を求めよと言うのであれば、より平易な言葉遣いと適度に漢字をひらがなにひらくこと、
そして てきど に かいぎょう や くうぎょう を
はさむ こと を おぼえて は
いかが かな??
Re: (スコア:0)
小さいほうの素数から順番にかけていくイメージで考えると
そもそも最初に2が含まれてるんだから偶数で当たり前やんってなるけど
別に小さいほうからかけていくなんて決まっているわけでもなく、無限に手順は存在するはず。
そうすると2が含まれるんだか含まれないんだかそもそもどの素数が含まれているんだかっていうのは
全て等しく無限大のかなたにすっとんでいくような気がしてこないだろうか。
Re: (スコア:0)