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数学

「全ての素数の積は偶数」は正しいか 278

ストーリー by hylom
無限の議論へ 部門より
あるAnonymous Coward 曰く、

一部で「すべての素数の積は偶数」という命題が正しいか否かが議論になっているようです（Togetterまとめ）。

元々はスマートフォン向けゲーム「クイズRPG 魔法使いと黒猫のウィズ」で出題された、「すべての素数をかけた時にできる数は、偶数、奇数のうちどちら？」という問題。「すべての素数」には2が含まれることからゲーム内での正解は「偶数」だったようですが、これに疑問を呈する声が出ています。

「素数」になんらかの条件を加えない限り、すべての素数の積はいわゆる「無限大」になり、これが偶数なのかどうかを判別できるのか、というのが議論の1つのようです。また、「すべての自然数の和は-1/12」という例のように、発散する数に対する演算を有限の数どうしの演算と同様に扱ってはいけないという話も出ています。

この議論は賞味期限が切れたので、アーカイブ化されています。 新たにコメントを付けることはできません。

「全ての素数の積は偶数」は正しいか More

  • ちょっと補足として (スコア:5, 参考になる)

    by Anonymous Coward on 2014年11月26日 12時57分 (#2717446)

    > また、「すべての自然数の和は-1/12」という例のように、発散する数に対する演算を有限の数どうしの演算と同様に扱ってはいけないという話も出ています。

    これまた、誤解を与える文章ですね。

    1) 「すべての自然数の和は-1/12」は、「すべての自然数の和は-1/12とみなすこともできる。」とでもすべきでしょう。
    2) 発散する数に対する演算を有限の数どうしの演算と同様に扱ってはいけないという話も出ています。
    これ自体は数学的に正しいのですが、前段の 「すべての自然数の和は-1/12」とは異なる話なので、
    元の記事のように、１つの文章で書くのは、誤解を与えます。

    さて、1) について、
    まず、前提として、どうひっくり返っても「すべての自然数の和」は正の無限大に発散します(単純にいえば、無限大になる)。

    ただ、以下の理由によって、-1/12 とみなすことが可能となります。(詳細は、複素解析の本をお読み下さい)

    -1/12 になるのは、ゼータ関数ζ(s) [wikipedia.org]の定義から(発散とか無視して、形式的な表現として)

    1 + 2 + 3 + ‥ = ζ(-1)

    と表すことができます。
    このままでは、左辺は発散したままですが、ゼータ関数を解析接続 [wikipedia.org]をしますと、
    s = 1 以外の点で有限の値を持つことが証明されます。

    その結果として、ζ(-1) = -1/12 とみなすことができ(あくまでも、解析接続した関数は、
    元のゼータ関数とは違うので、あくまでも「みなせる」ということに注意)、

    1 + 2 + 3 + ‥ = - 1/12

    とみなすことができるのです。

  • ∞ 「見方を90度変えてみろ」

    ∞ 「…そっちじゃない。ヨーじゃなくてロールのほうだ」

    ８ 「ほうら、偶数に見えてきただろう」

  • 出題側は素数が有限であると仮定しているわけで答えは偶数以外ありえない。
    無限大持ちだすとか訳のわからんこと言う前に出題側の意図に気づかないと。

    ＃ 就職面接本だとこれぐらいはいいそう

  • ①ゼロと無限大は(2を掛けても)偶数にはなりません。
    ②素数は無限に存在することが紀元前に証明されています。

  • 2以外の素数の積は無限大かもしれないけど、2を掛けていることは明らかなんだから偶数であることには違いない。
    さらに言うと3の倍数である事にも違いないし、ある任意の素数で割り切れる事にも違いない。
    「xを含む無限個の自然数の掛け算はxで割り切れる」という事が言えればいいんだろうね。

  • 結局、「無限大の定義」、「偶数の定義」など、またその「定義が矛盾した時の扱い方の定義」しだいな気がします。

    --
    Yasuda

  • うーん、難しい (スコア:1)

    by Anonymous Coward on 2014年11月26日 12時46分 (#2717435)

    国語が。

    「『すべての素数』の積」　= 2*3*5*7* ......
    「すべての『素数の積』」 ∋　（2*3, 2*5, 3*5, 2*7,3*7,,,,,)

    下のことを最初に考えて「何言ってんだ」と思ってしまった。

  • 帰納法はどう？ (スコア:1)

    by Patilise (45974) on 2014年11月26日 13時07分 (#2717458)

    2は偶数。
    2×3×...×(n個目の素数)が偶数だと仮定すると、2×3×...×(n個目の素数)×(n+1個目の素数)も偶数。
    よって、何個かけても偶数。

    # 「すべて」を「n個かける。n→∞」に変えることはできるのかな

  • こういう問にすべきだった (スコア:1)

    by nim (10479) on 2014年11月26日 17時13分 (#2717661)

    2よりも大きな任意の自然数nに対して、そのnよりも小さな素数を全てとりだし、掛けあわせたものは偶数か、奇数か。

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あつくて寝られない時はhackしろ! 386BSD(98)はそうやってつくられましたよ? -- あるハッカー