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面白い近似式見つけたよ～みんな確かめてみてね。ってとこですか？
# でも式は美しい
いや、近似式なんかではなく、直線解(=3体が一直線に並んでいる)という「限定された条件の下」での、厳密な解析解を求めたよってことですよ。
ラグランジュ点でいうところのL1、L2、L3ですね。ラグランジュ点は、ニュートン力学における限定された条件下での三体問題の解析解ですが、それを今回はアインシュタイン力学的に求めることができた、と。
ところで円周率はおろか2の平方根すらも厳密に十進小数展開を求めることはできないわけですが、数学者の言う「厳密」とはどういう意味なのでしょうか。
それは数値解。だから厳密解では無理数や分数が残ってておk。
> 厳密解では無理数や分数が残ってておk。それはどうして? 数値解と厳密解は何を基準に分けられてるの? 数学者という連中が恣意的に決めてるの?
逆に、なぜ「十進展開されること」が厳密な解の条件だと考えてるんですか？「十進展開できないから1÷3は厳密に解が求められていない」ということでしょうか？
> 逆に、なぜ「十進展開されること」が厳密な解の条件だと考えてるんですか？そんなことを言ったつもりはないんだけど。円周率はいかなる方程式の解にもならないけど、円周率を含んだ解は厳密解と言っていいの? いいのだとしたら「十進小数にできなくても分数なら厳密解でおk」「分数にできなくても代数的数なら厳密解でおk」「代数的数にできなくても円周率やネイピア数なら厳密解でおk」みたいな基準は(数学者が恣意的に決めてるんじゃなければ)どういう根拠があるの? って聞いてるの。
はいはい、「いかなる代数方程式の解にもならない」の言い間違えだとわかってるくせに意地悪だこと。「無限和を使ってもおｋ」なら5次方程式の厳密解も求められるけど、無限和の計算を途中で打ち切ったらそれは数値解にほかならない。だから一般に5次方程式の厳密解は求められないということになってるらしい。じゃあ円周率やネイピア数を使った解とそれ以外の無限和を使った解の違いは何?
そうですよね。実数係数なら何でもできる。x - \pi = 0とか。超越数の定義は、「整数係数」で「有限項」の多項式の解に ならない 数ですよね。
例:\sqrt{2}: x^2 - 2 = 0 だから超越数ではない。
そうだね、「整数係数」で「有限項」のって付け忘れた僕が悪いんだね。ごめんね。で、揚げ足を取るばかりで後半の疑問には答えてくれないの?
僕は数学者でも物理学者でもないので間違ったことを書くと思います。
じゃあ円周率やネイピア数を使った解とそれ以外の無限和を使った解の違いは何?
何かの数を求める上で重要なのは、その数の性質を明らかにすることです。なので、当然性質がわかりやすいような表現が好まれます。
例えばある数を ∑n=0 ∞ 1/2nCn と書くよりも、 4/3 + (2π)/(9√3) と書く方が良いのは、性質がわかりやすいからです (この二つが本当に同じ数である証拠は Wolfram Alpha に任せた [wolframalpha.com])。最初の表現では、この数が無理数であることとか、約 1.74 になることとかがわかりにくいですよね (そもそもこの無限和が収束することだって、人によっては一瞬ではわからないかもしれません)。
簡単な式でも無限和が出てくると途端に性質がよくわからなくなってしまうので、無限和はなるべく避けるのが原則です。 π や e やその他の数学定数も、使わずに済むなら使わない方が良いけれど、性質がいろいろわかっている有名な定数なら無限和ほど悪くはありません。
もしもある数を無限和を使わないで書こうとするとものすごく複雑になってしまうなら、無限和を使う方がまだましという状況もあり得るのではないかと思います。何にしても、性質がわかりやすい書き方を見つけることが重要です。
数学で「解」といったら「方程式の等号を満たすモノ(有理数だったり無理数だったり超越数だったり行列だったり数式だったりする)」のことで、すなわち厳密解のことです。解の中に「厳密解」「近似解」といった区分があるわけではありません。あるのは「解(＝厳密解)」と「解に似た何か」だけです。
言い換えれば、等号を満たすのであればソレが数値だろうが超越数だろうが無限級数だろうが「厳密解」です。
> じゃあ円周率やネイピア数を使った解とそれ以外の無限和を使った解の違いは何?
ちゃんと無限まで計算するのであればどちらも厳密解ですよ。途中
>ちゃんと無限まで計算するのであればどちらも厳密解ですよ。
無限の計算が有限時間で出来ないだろ？と思ったが「無限になった場合まで(limx->∞)計算すれば」という意味なんだろうな。
数学の話をするのに自分が求める条件を厳密に定義しないでおいて、その部分についてこんな言い方は逆切れだよなぁ…。
つーかIDも取らずにAnonumousで「後半」とかザックリ言われてもチャット状態の当人以外には追いにくくて仕方ないのでせめてURLか番号を書いてほしい…。
＃…というか「前半」でこれだけ指摘がある程条件に抜けがあると「後半」とやらでも必要な条件や定義がヌケてて＃マジレスするたびに「コレジャナイ」宣言される不毛な展開になるのじゃないかという危惧が…。
「無限和を使ってもおｋ」なら5次方程式の厳密解も求められるけど、無限和の計算を途中で打ち切ったらそれは数値解にほかならない。だから一般に5次方程式の厳密解は求められないということになってるらしい。
もしも「五次方程式に解の公式が存在しない」ことの話を言いたいのでしたら、あれって
「五次方程式には代数的解法が存在しない」
という命題であって、代数的解法とは「四則演算と冪根を有限回用いて求めること」なんで、この手法では解けないといっているだけです。「厳密解は**代数的解法では**求められない」としか言ってない。決して「厳密解は求められない」とか言っているわけではないですよ。この違いは大事ですよ。
5次方程式は厳密解を求められない、なんて誰も主張していないよね。5次方程式を「代数的」に解けない、と主張しているだけで。厳密解が存在することと代数的解法で解を求められることを混同しないで欲しいなぁ。
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UNIXはただ死んだだけでなく、本当にひどい臭いを放ち始めている -- あるソフトウェアエンジニア
三体問題解決するわけないし (スコア:0)
面白い近似式見つけたよ～みんな確かめてみてね。
ってとこですか？
# でも式は美しい
Re: (スコア:4, 参考になる)
いや、近似式なんかではなく、
直線解(=3体が一直線に並んでいる)という「限定された条件の下」での、厳密な解析解を求めたよってことですよ。
ラグランジュ点でいうところのL1、L2、L3ですね。
ラグランジュ点は、ニュートン力学における限定された条件下での三体問題の解析解ですが、
それを今回はアインシュタイン力学的に求めることができた、と。
Re: (スコア:-1, オフトピック)
ところで円周率はおろか2の平方根すらも厳密に十進小数展開を求めることはできないわけですが、数学者の言う「厳密」とはどういう意味なのでしょうか。
Re: (スコア:2, すばらしい洞察)
それは数値解。だから厳密解では無理数や分数が残ってておk。
Re: (スコア:-1, オフトピック)
> 厳密解では無理数や分数が残ってておk。
それはどうして? 数値解と厳密解は何を基準に分けられてるの? 数学者という連中が恣意的に決めてるの?
Re: (スコア:1)
逆に、なぜ「十進展開されること」が厳密な解の条件だと考えてるんですか？
「十進展開できないから1÷3は厳密に解が求められていない」ということでしょうか？
Re: (スコア:0)
> 逆に、なぜ「十進展開されること」が厳密な解の条件だと考えてるんですか？
そんなことを言ったつもりはないんだけど。
円周率はいかなる方程式の解にもならないけど、円周率を含んだ解は厳密解と言っていいの? いいのだとしたら
「十進小数にできなくても分数なら厳密解でおk」
「分数にできなくても代数的数なら厳密解でおk」
「代数的数にできなくても円周率やネイピア数なら厳密解でおk」
みたいな基準は(数学者が恣意的に決めてるんじゃなければ)どういう根拠があるの? って聞いてるの。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:2)
Re: (スコア:0)
はいはい、「いかなる代数方程式の解にもならない」の言い間違えだとわかってるくせに意地悪だこと。
「無限和を使ってもおｋ」なら5次方程式の厳密解も求められるけど、無限和の計算を途中で打ち切ったらそれは数値解にほかならない。だから一般に5次方程式の厳密解は求められないということになってるらしい。
じゃあ円周率やネイピア数を使った解とそれ以外の無限和を使った解の違いは何?
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
そうですよね。実数係数なら何でもできる。
x - \pi = 0
とか。
超越数の定義は、「整数係数」で「有限項」の多項式の解に ならない 数ですよね。
例:\sqrt{2}: x^2 - 2 = 0 だから超越数ではない。
新人。プログラマレベルをポケモンで言うと、コラッタぐらい
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
厳密解と数値解の関係は、厳密解の式をなんかの方法で計算していけばいくらでも誤差の少ない数値解を求められる、みたいな感じなのかな。
一方で、解析解の方の定義は「これとこれとこの道具だけで書かれた式」とか。そこに線引きあるのは専門用語だからしょうがない、みたいな。
解となる方程式の扱いやすさとかで区別してる、みたいな簡単な説明があるとありがたいとこですね。 無限和を含んだ厳密解だとその解からさらに発展させるのが難しいけど、πを含んだ厳密解ならまだまだ先に進める、とか。 進んだ結果、上手いことπが消えるような場合もありますし。
Re: (スコア:0)
そうだね、「整数係数」で「有限項」のって付け忘れた僕が悪いんだね。ごめんね。
で、揚げ足を取るばかりで後半の疑問には答えてくれないの?
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:2)
僕は数学者でも物理学者でもないので間違ったことを書くと思います。
何かの数を求める上で重要なのは、その数の性質を明らかにすることです。なので、当然性質がわかりやすいような表現が好まれます。
例えばある数を ∑n=0 ∞ 1/2nCn と書くよりも、 4/3 + (2π)/(9√3) と書く方が良いのは、性質がわかりやすいからです (この二つが本当に同じ数である証拠は Wolfram Alpha に任せた [wolframalpha.com])。最初の表現では、この数が無理数であることとか、約 1.74 になることとかがわかりにくいですよね (そもそもこの無限和が収束することだって、人によっては一瞬ではわからないかもしれません)。
簡単な式でも無限和が出てくると途端に性質がよくわからなくなってしまうので、無限和はなるべく避けるのが原則です。 π や e やその他の数学定数も、使わずに済むなら使わない方が良いけれど、性質がいろいろわかっている有名な定数なら無限和ほど悪くはありません。
もしもある数を無限和を使わないで書こうとするとものすごく複雑になってしまうなら、無限和を使う方がまだましという状況もあり得るのではないかと思います。何にしても、性質がわかりやすい書き方を見つけることが重要です。
Re: (スコア:0)
数学で「解」といったら「方程式の等号を満たすモノ(有理数だったり無理数だったり
超越数だったり行列だったり数式だったりする)」のことで、すなわち厳密解のことです。
解の中に「厳密解」「近似解」といった区分があるわけではありません。あるのは
「解(＝厳密解)」と「解に似た何か」だけです。
言い換えれば、等号を満たすのであればソレが数値だろうが超越数だろうが無限級数
だろうが「厳密解」です。
> じゃあ円周率やネイピア数を使った解とそれ以外の無限和を使った解の違いは何?
ちゃんと無限まで計算するのであればどちらも厳密解ですよ。途中
Re: (スコア:0)
> 「いかなる代数方程式の解にもならない」
x - π = 0 の解ですね。 （これって「代数方程式」じゃないのかな？）
> じゃあ円周率やネイピア数を使った解とそれ以外の無限和を使った解の違いは何?
「名前がついていない」ってことじゃないですかね？ その値をよく使うのならば、何か
名前をつけてあげたらどうでしょうか。たぶんノートに書ききれない桁数になるので、
1文字の記号で表すとすごく楽ちんになります。ギリシア文字にするとカッコいいです。
ついでですが、このスレッドでは「厳密解」という言葉が私が思っている意味より広い
ものを指している気がしています。物理も数学も専門家ではないので、自信がないの
ですが。
「一般相対性理論の枠組みでの運動方程式を特定条件下で、近似式の厳密解を
解析的に(陽に)解く方法を導出した」というのが今回の話かな。 反復しないので
高速に求められて便利、かつ近似は post Newton とやらの範囲内に収まると。
Re: (スコア:0)
>ちゃんと無限まで計算するのであればどちらも厳密解ですよ。
無限の計算が有限時間で出来ないだろ？と思ったが
「無限になった場合まで(limx->∞)計算すれば」と
いう意味なんだろうな。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
数学の話をするのに自分が求める条件を厳密に定義しないでおいて、その部分についてこんな言い方は逆切れだよなぁ…。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
つーかIDも取らずにAnonumousで「後半」とかザックリ言われてもチャット状態の当人以外には追いにくくて仕方ないのでせめてURLか番号を書いてほしい…。
＃…というか「前半」でこれだけ指摘がある程条件に抜けがあると「後半」とやらでも必要な条件や定義がヌケてて
＃マジレスするたびに「コレジャナイ」宣言される不毛な展開になるのじゃないかという危惧が…。
Re: (スコア:0)
もしも「五次方程式に解の公式が存在しない」ことの話を言いたいのでしたら、あれって
「五次方程式には代数的解法が存在しない」
という命題であって、代数的解法とは「四則演算と冪根を有限回用いて求めること」なんで、この手法では解けないといっているだけです。「厳密解は**代数的解法では**求められない」としか言ってない。決して「厳密解は求められない」とか言っているわけではないですよ。この違いは大事ですよ。
Re:三体問題解決するわけないし (スコア:1)
5次方程式は厳密解を求められない、なんて誰も主張していないよね。5次方程式を「代数的」に解けない、と主張しているだけで。厳密解が存在することと代数的解法で解を求められることを混同しないで欲しいなぁ。