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数学

Sum of three cubes問題、42に対して解かれる 78

ストーリー by hylom
デカい 部門より

qfwfq曰く、

整数kに対してx^3+y^3+z^3=kとなる整数x、y、zを求める(あるいは存在しないことを証明する)という問題を「Sum of three cubes」問題と言う。

100以下のkに対してほとんどは1954年に提起されてまもなく解決していたが、33と42についてだけは未解決だった。33について解かれたのも今年になってのことだが、先日とうとう42についても次のような解が発見された(ブリストル大学の発表)。

-80538738812075974^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3 = 42

探索には分散コンピューティングソフトウェア「BOINC」が使われたが、プロジェクトを主導したBristol大のプレスリリースではBOINCをSF小説「銀河ヒッチハイク・ガイド」の「Deep Thought」になぞらえている。

  • by tamaco (19059) on 2019年09月12日 12時29分 (#3684876)

    検算してみたらちゃんと42がでますね。ちなみにWindows10のCALC
    -5.2241359903697915028096614485365e+50 + 5.2041221158249736173865271846355e+50 + 2.0013874544817885423134263901005e+48
    =42

    ここに返信
  • (-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3 = 42
    括弧をつけて欲しいです。

    ここに返信
  • by Anonymous Coward on 2019年09月12日 8時43分 (#3684699)

    各項は生命、宇宙、万物のどれにあたるのでしょうか?

    ここに返信
    • by Anonymous Coward

      それを調べるために別のコンピューターが必要なのじゃよ。

  • by Anonymous Coward on 2019年09月12日 8時07分 (#3684673)

    x3+y3+z3=k
    のような表現が出来ない場合、

    べき乗の表現において^を使うのは、一般的なのでしょうか?

    ここに返信
    • by Anonymous Coward

      一般的です.

    • by Anonymous Coward

      LaTeXでよく使われるのが広まった感じかなあ?
      それとも大元はBASICかな。
      かなり一般的・・・と思ったけど
      流行りのスクリプト言語は大体「**」使うのな。またはpow()関数とか。。

      • by Anonymous Coward on 2019年09月12日 9時22分 (#3684738)

        ALGOLとかもそうなので、結構歴史はありそう。
        ExcelとかLotusとかでもべき乗記号はハットマークなので、プログラム言語限定で使われたわけでもない。
        自分的には、当たり前すぎて一般的か否かを考えたこともなかったけど、最近の言語じゃ使われないし、ExcelにもPow関数あるし、若い人とかは知らないのかも。

    • by Anonymous Coward

      まあ一般的じゃないですかね。
      ^も**も、よく見かけるし通じます。

      逆に何なら一般的だと考えてますか?

    • by Anonymous Coward

      整数kをx^3+y^3+z^3で表現できないからって^を使うなって何言ってんだと一瞬思った(混乱

  • by Anonymous Coward on 2019年09月12日 8時10分 (#3684676)

    なんだか紀元前数千年からあってもおかしくないような問題なのに割と最近なのね。
    思いついた人はもちろん1954年以前から山ほどいたとは思うが、それにしてもなんでそんなに遅いんだろう?

    ここに返信
    • by manmos (29892) on 2019年09月12日 11時19分 (#3684841) 日記

      アラビア数字が現れる前の数学の話って、結構面倒なんですよね。
      無茶苦茶大きい数とか無理数とか表記方法を、どう考えていたかをアラビア数字(桁上がりの記法。10進法すら)を捨てて考えなくてはいけない。
      #三平方の定理を理解している訳だから無理数の理解はあると思うんだけど。

      逆に分数が現代人より身近。税金の名前が分数の名前だったり。(属州民の税金が十分の一税とか)

    • by Anonymous Coward

      そもそも負の数が発見(発明)されたのって、そんな昔でしたっけ?
      零が発見されたのだって、紀元前数百年くらいだったような。

  • by Anonymous Coward on 2019年09月12日 8時10分 (#3684678)

    脂漏徒にでも分かる解説よろしく。

    if文の連結のループだと100年かかるとか?
    一晩で出来そうに見えるが。

    ここに返信
    • by Anonymous Coward on 2019年09月12日 8時42分 (#3684697)

      x,y,zに入りうる整数がN個あるとすると、ありうる答えの組み合わせはN^3個。
      愚直に値を入れてみて調べる場合, 1から100万まで探すだけでも100万の3乗個調べる必要がある。
      実際,上の記事に記載されている解で, xは1兆をはるかに超える数なので1兆^3よりもずっと膨大な解候補から見つけ出した事になる。

    • by Anonymous Coward on 2019年09月12日 10時19分 (#3684782)

      x=80435758145817515
      y=80538738812075974
      z=12602123297335631

      という桁数を見て欲しい、10GHzで数え上げるだけでも何十年と掛かる。その組み合わせを単純に総当たりをすれば、百万の単位になる。

      数学を駆使することで100万時間といったレベルで検索が済むように範囲を絞って、BOINCに参加する家庭用パソコン50万台以上を投入して計算したらしい。

    • by Anonymous Coward

      ぜひやってみて。

    • by Anonymous Coward
      • 単純に桁が多い。
      • 三つの数字の組み合わせだから、探索する回数も合わせた分になる。
      • 整数論によくある「どう解いたらいいか分からん」
      • そんなに有用というか、数学的な意味はないのでリソースを割きにくい。分かりやすいけど。

      探索プログラムが難しいかといえばそんなことはない。
      もちろん、計算量削減のためにいろんな工夫と分散処理が必要だが。

    • by Anonymous Coward

      脂漏徒には解説してもわからないよ

    • by Anonymous Coward

      1秒間に1000個の演算結果が得られるとすると、1日は86,400秒だから、1日で確かめられる場合の数は8640万個ですな。

      1日ほぼ1億として、100年がかりで3兆6500億ですわ。

      • by Anonymous Coward on 2019年09月12日 10時01分 (#3684768)

        こんな桁数の数になるまで見つからなかったのが驚きだなあ。

        素数とか整数の問題は、人間の数字感覚とズレがあって面白い。

        • by Anonymous Coward

          >素数とか整数の問題は、人間の数字感覚とズレがあって面白い。
          これだなあ。足したり引いたりして42になるのなら、せいぜい何十とか何百くらいの数字の範囲に解があって、
          その範囲になければもうなさそうなのに、18桁かな?そんなところにポコンと解があるなんて。

          銀河ヒッチハイクガイドを旧訳版・新訳版ともに持ってるファンとしてはそれが「42」であることにニヤニヤですよ。
          映画版も日本ではイマイチ受けなかったんだっけなあ

  • by Anonymous Coward on 2019年09月12日 10時23分 (#3684784)

    x^3+y^3+z^3=k でkが与えられた時、x,y,z は一意に決まるの?
    あと、存在しないことが証明されたkもあるの?

    ここに返信
    • by nekopon (1483) on 2019年09月12日 10時49分 (#3684808) 日記
      k=0のとき a3 + (-a)3 + 03 = 0ですので、一般のkに対して一意というわけではありません参考 [wikipedia.org]
      また、k を9で割ったあまりが 4か 5のときは解がありません証明例 [stackexchange.com]
      • by Anonymous Coward

        今回発見されたk=42も別解があるかもしれない、ということ?
        もっと桁数の少ないのは多分ないんだろうけど。

    • by Anonymous Coward

      x,y,zの組み合わせが一意に決まらないkもあることは簡単に例を上げられますね。

      k=0 の場合、任意の自然数aに対して、以下の等式が成り立ちます。

      a^3 + (-a)^3 + 0^3 = 0

      x,y,zが互いに異なるという条件がなければ、他にも

      k=1

      1^3 + 1^3 + (-1)^3 = 1
      0^3 + 0^3 + 1^3 = 1

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